| Pitagora di Samo è stato uno dei maggiori matematici
dell'antica Grecia, vissuto tra il 580 e il 500 a.C. Egli viaggiò molto
e venne in contatto con le conoscenze dei babilonesi, degli indiani e
degli egiziani. Fondò una scuola a Crotone, nella Magna Grecia, che era
più simile ad una setta segreta in cui i discepoli praticavano la
condivisione dei beni oltre che delle conoscenze, erano vegetariani e
credevano nella trasmigrazione delle anime. Ma cosa afferma il famoso
teorema? Che in un triangolo rettangolo il
quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente (ha la stessa area)
alla somma dei due quadrati costruiti sui cateti.
Vi sono diverse costruzioni geometriche che dimostrano il teorema
di Pitagora. Di seguito trovi un piccolo repertorio: cerca di capire come funzionano.
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Si parte dai due
quadrati costruiti sui cateti e poi ... |
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Henry
Perigal, agente di borsa e
astronomo dilettante, scoprì questo divertente sistema alla fine
del 1800 |
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Questa dimostrazione si basa sul
principio della equiscomponibilità: se dallo stesso quadrato
togliamo le stesse parti, anche se in modo diverso, le superfici
che restano sono equivalenti (stessa area). |
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I teoremi di Euclide
Euclide di Alessandria, vissuto tra il 330 e il 260 a.
C., fu uno dei maggiori matematici dell'antichità. Autore del più famoso
trattato di geometria: gli Elementi in cui dava sistemazione al
sapere matematico del tempo, egli fu uno dei principali maestri del
"Museo" di Alessandria, creato in Egitto dal re Tolomeo I,
generale di Alessandro Magno.
Ad Euclide vengono attribuiti due famosi teoremi che
riguardano il triangolo rettangolo.
L'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo lo divide in
altri due triangoli rettangoli. Osserva la figura e potrai facilmente
capire che questi tre triangoli
sono tra loro simili (attenzione devi conoscere i criteri di
similitudine dei triangoli).
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1° teorema di
Euclide: in questo teorema devi prendere in considerazione il
triangolo rettangolo iniziale (quello più grande) e ciascuno dei
due triangoli rettangoli in cui esso viene tagliato dall'altezza
relativa all'ipotenusa. Osserva bene la figura e individua quali
sono i lati proporzionali dei due triangoli, ti accorgerai che il
cateto del triangolo grande diventa ipotenusa nel triangolo piccolo.
La proporzione che puoi scrivere è quindi:
ipotenusa : cateto
= cateto : proiezione
sull'ipotenusa
Sai che le proporzioni godono della proprietà fondamentale,
quindi si può anche scrivere:
cateto x cateto =
ipotenusa x proiezione
sull'ipotenusa
Ma allora possiamo affermare che il quadrato costruito sul cateto è
equivalente (stessa area) al rettangolo che ha per base l'ipotenusa
e per altezza la proiezione del cateto sull'ipotenusa... Troppo
difficile? Meglio guardare la
figura!
Forse ti sarai accorto che applicando
questa costruzione ad entrambi i cateti ottieni un'altra
dimostrazione del teorema di Pitagora. Poiché Pitagora è vissuto
prima di Euclide egli ha però usato probabilmente un altro
ragionamento per dimostrare il suo teorema.
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2° teorema di
Euclide: questa volta devi invece prendere in considerazione i due
triangoli rettangoli in cui resta diviso il triangolo iniziale. Hai
già visto sopra che essi sono tra loro simili e quindi i lati
corrispondenti sono proporzionali e con essi si può quindi scrivere
una proporzione:
proiezione 1° cateto : altezza
= altezza : proiezione
2° cateto
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